Exemple de espace vectoriel

Exemple 1. Nous disons que P {displaystyle P} hérite de ces opérations de R 3 {displaystyle mathbb {R} ^ {3}}. L`espace vectoriel des polynômes avec des coefficients réels et un degré inférieur ou égal à n est désigné par PN. Ainsi, nous avons FQ, le champ fini unique (jusqu`à isomorphisme) avec des éléments q. La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l`extension. Quelque chose de si fondamental que nous sommes tous d`accord qu`il est vrai et l`accepter sans preuve. Pas vraiment aussi jolie, n`est-ce pas? Les cycles construits de cette façon sont appelés les cycles fondamentaux de $T $, et en fait ces cycles forment une base pour $C (G) $. Notre prochain théorème est un peu différent de plusieurs des autres dans la liste. Les coordonnées barycentriques sont un autre exemple de quelque chose comme un espace vectoriel, mais pas un espace vectoriel.

Notez que le nombre d`éléments en V est aussi la puissance d`un premier (car une puissance d`une puissance de premier choix est à nouveau une puissance de premier choix). L`ajout d`un seul bord de $G-T $ à $T $ produit un cycle. Cet espace vectoriel est digne d`attention parce que ce sont les opérations polynomiales familiers de l`algèbre du lycée. Peut-être certaines des définitions ci-dessus et les vérifications semblent évidentes ou comme les poils de fractionnement, mais l`exemple suivant devrait vous convaincre qu`ils sont nécessaires. Puis FM × n est un espace vectoriel sur F. Nous pouvons considérer cet espace comme une généralisation de l`exemple 1. Des commentaires similaires s`appliquent à la multiplication scalaire. L`ensemble de polynômes dans plusieurs variables avec des coefficients en F est l`espace vectoriel sur F notée F [x1, x2,..., XR]. Cette identification dépend normalement du choix de la base.

L`addition et la multiplication scalaire sont des composants-sages, comme dans l`exemple 1. Then $ vect{-u} = (-1) vect{u} $. Utilisez-le comme un modèle pour les autres. Nous pouvons officialiser “infiniment grand” en disant que cela signifie une séquence infinie, ou que cela signifie une fonction de N {displaystyle mathbb {N}} à R {displaystyle mathbb {R}}. Un choix possible de base est les matrices avec une entrée unique égale à 1 et toutes les autres entrées 0. En tout cas, examinons maintenant quelques exemples concrets. Après avoir étudié le reste de ce chapitre, vous pourriez revenir ici et vous rappeler comment tous nos prochains théorases et définitions reposent sur cette Fondation. Notez le rôle de la condition de finitude ici. Une fois défini, nous étudions ses propriétés les plus basiques. Is {(x, y) | x, y, R} {displaystyle {(x, y) , {big |} , x, yin mathbb {R} }} un espace vectoriel sous ces opérations? Supposons que v → 2 V {displaystyle {vec {v}} in V} n`est pas 0 → {displaystyle {vec {0}}}.

Dans ce cas, nous appellerons $V $ un espace vectoriel sur (le champ) $F $. Si au lieu de cela on restreint aux polynômes avec un degré inférieur ou égal à n, alors nous avons un espace vectoriel avec la dimension n + 1. Si X est fini et V est finie-dimensionnelle alors VX a dimension | X | (Dim V), sinon l`espace est infini-dimensionnel (incounablement si X est infini). En outre, chaque espace vectoriel est isomorphe à l`une de cette forme. Les espaces vectoriels sur $ mathbb{Z}_2 $ sont très intéressants. Un exemple important qui se trouve dans le contexte de l`algèbre linéaire elle-même est l`espace vectoriel des cartes linéaires. Dans cette sous-section, nous allons prouver quelques propriétés générales des espaces vectoriels. Par exemple, on peut penser 1 + 3 x + 5 x 2 {displaystyle 1 + 3x + 5x ^ {2}} comme correspondant à (1, 3, 5, 0, 0,…) {displaystyle (1, 3, 5, 0, 0, ldots)}. Et les vérifications requises étaient toutes traitées en citant de vieux théorms.

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